Chaos - Fraktale Grafiken

Aus der Schulgeometrie kennen wir nur die in Bild 1 dargestellten Dimensionen. Dass es nach diesen drei Dimensionen noch weitere gibt, ist allgemein bekannt. Vernachlässigt wurde dagegen oft die Tatsache, dass es neben diesen ganzzahligen Dimensionen auch noch welche dazwischen gibt. Diese entsprechen der realen Welt sogar viel besser als die "glatten" bekannten Gebilde. Die vom mathematischen Aussenseiter Benoit Mandelbrot erforschten, gebrochenen Dimensionen wie zum Beispiel 1,65 oder 2,37 tragen den Namen "Fraktale" (lateinisch "fractum" = gebrochen). Obwohl niemand die Phänomene dieser Dimensionen versteht, weiss man mittlerweile recht viel über sie. So ist Beispielsweise bekannt, dass sich fraktale Geometrien selbst ähnlich sind. Auch die Berechnung von fraktalen Grafiken ist tatsächlich sehr einfach durchführbar. Das Apfelmännchen zum Beispiel berechnet sich aus der Formel: "zn+1=zn2+c" (c und z sind komplexe Zahlen). Was dabei entsteht wird in Bild 2 dargestellt.

Dieses Bild zeigt einen sogenannten Pythagorasbaum. Er konstruiert sich aus dem, sich ständig wiederholenden, rechtwinkligen Dreieck mit seinen Seitenquadraten.

Die wohl bekannteste fraktale Grafik ist das sogenannte "Apfelmännchen". Seine Berechnung wird am besten durch das nachfolgende Computerprogramm erklärt. Die Bildschirmausgabe des Programms ist in Bild 2 dargestellt.

'g' hat den Wert 4 überschritten (15.612)! Die Farbe an der Koordinate (-0.25 / 0.75) hat den Wert 21.

Bei diesem Beispiel waren also 22 Berechnungsdurchläufe nötig um die Farbe des Punktes zu berechnen. Es gibt aber Koordinaten, bei deren Berechnung 'g' den Wert 4 nie überschreitet. Genau diese Punkte gehören zur Mandelbrotmenge.

Weil der Computer bei solchen Punkten in eine nie endende Berechnung geraten würde, wird bei einem bestimmten Grenzwert von z die Berechnung abgebrochen und die Farbe schwarz oder weiss für die betreffende Koordinate gesetzt. Im nebenstehenden C-Programm wurde dieser Grenzwert (auch 'Iteration' genannt) auf 75 festgelegt.

Werden diese Berechnungen für alle Punkte in einem bestimmten Bereich ausgeführt und als 3D - Flächendiagramm ausgewertet so ergibt sich die in Bild 4 dargestellte Grafik.

Egal wo man mit der Thematik der Chaosforschung auftritt, wird immer dieselbe (durchaus berechtigte) Frage nach einem konkreten Nutzen dieses mathematischen Wissens laut. Ist das ganze nur Spielerei und Faszination oder gibt es tatsächlich eine Anwendung für eine Formel, die einen "Tintenfleck" berechnet?

Zunächst sei einmal erwähnt, dass Wissenschaft durchaus nicht immer einen auf den ersten Blick sichtbaren Nutzen hat. Ohne Zweifel wurde die Chaosforschung betrieben, bevor eine Anwendung für sie bestand. Was sie aber danach bewirkt hat, ist mehr als nur die Faszination einiger Verrückter.

Die Chaosforschung birgt eine tiefgründige Konsequenz, aus der wir alle etwas lernen sollten: Schon eine minimale Änderung der Anfangsbedingungen von chaotischen Systemen führt zu massiven Differenzen im Endergebnis. In den Bildern 5 bis 7 wird diese Auswirkung deutlich. Bei diesen Grafiken wurde eine Linie immer abwechslungsweise in horizontaler Richtung zur Geraden und dann wieder in vertikaler Richtung zur Parabeln hingezogen. Die Formel ist also bei allen Bildern dieselbe. Die Parabel wurde jedoch von oben nach unten schrittweise etwas höher gezeichnet. Diese kleine Veränderung der Anfangsbedingungen hat zu wesentlichen Unterschieden der drei Grafiken geführt. Was hier eine geometrische Spielerei ist, muss in Wirklichkeit sehr ernst genommen werden. Auch unser Ökosystem ist ein komplexes, chaotisches System, das die Eigenschaft hat, auf kleine Veränderungen sehr empfindlich und absolut unvorhersehbar zu reagieren. So kann der Flügelschlag eines Schmetterlings andernorts einen Hurrikan auslösen. Aus diesem Grund wird dieser Effekt auch Schmetterlingseffekt genannt. Daraus können wir schliessen, dass alle Komponenten unserer Umgebung sehr stark voneinander abhängig sind. Was das ganz konkret für uns bedeutet ist katastrophal! So bringt zum Beispiel schon die Ausrottung einer einzigen Pflanzen- oder Tierart mittelfristig das ganze Ökosystem aus den Fugen. Was sich die Menschheit allerdings zur Zeit leistet, ist für jeden Chaosforscher unverständlich. Niemand kann die Folgen der genetischen Eingriffe in die Natur, der Freisetzung verschiedenster Gifte in grossen Massen in die Umwelt und der Ausrottung diverser Pflanzen- und Tierarten an einem Tag auch nur annähernd abschätzen. Es ist eine totale Illusion zu behaupten, dass wir das alles eines Tages wieder in den Griff bekommen könnten. Stellen wir uns vor, wir wären in der obersten Grafik ca. auf der sechsten Linie nach dem Startpunkt. Wer könnte voraussehen, wo wir uns nach zehn weiteren Schritten befinden? In der Grafik haben wir bloss zwei massgebende Komponenten. In unserem Ökosystem jedoch, ist es das Zusammenspiel von unzähligen Komponenten, welche alle einen enormen Einfluss auf das Gesamte ausüben können. Alle Berechnungen über Klima, Ozonschicht, Vermehrung von Tier- und Pflanzenarten, usw. sind somit als Tendenzen anzusehen und können sich theoretisch schlagartig und völlig unvorhersehbar verändern. die Häufigkeit von Naturkatastrophen hat in den vergangenen Jahren stark zugenommen. Trotzdem hat der Mensch nicht gelernt sorgfältiger mit seiner Umwelt umzugehen. Viele glauben ganz einfach nicht an die Möglichkeit, dass der Mensch so stark in die Natur eingreifen könnte.

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